PENGHANTAR STATISTIK
YANG
DI
S
U
S
U
N
OLEH :
Marthin Fial maruhawa
FAKULTAS PENDIDIKAN TEKNIK ELEKTEKTRO
UNIVERSITAS NEGERI
2010 - 2011
YANG
DI
S
U
S
U
N
OLEH :
Marthin Fial maruhawa
FAKULTAS PENDIDIKAN TEKNIK ELEKTEKTRO
UNIVERSITAS NEGERI
2010 - 2011
KATA PENGANTAR
Puji kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, yang mana berkat rahmat dan karunianya sehingga pembuatan makalah ini dapat terselesaikan.Dalam rangkuman tugas. Ada pun pembahasan makalah saya ini bersumber dari buku dan internet.
Dalam penulisan makalah ini,saya menyadari masih banyak hal yang harus perlu dikoreksi, dan diperbaiki untuk dijadikan masukan bagi kami.Kami berharap segala masukan dari pembaca,dan juga Bapak Dosen Pembina. Atas segala masukan dan kritikan saya ucapkan terimakasih, dan atas segala kekurangan dalam penulisan Rangkuman Tugas saya saya mohon maaf.
Berbagai hal Kritik dan saran saya terima melalui
www.marthinfmaruhawa.blogspot.com
E-mail: marthinmaruhawa@yahoo.com
Penulis
--------------------------
PENGHANTAR PELUANG
1. PENDAHULUAN
Tugas Statistika baru diamggap selesai jikakita berhasil membuat kesimpulan yang dapat dipertanggung jawabkan tentang sifat atau karakteristik populasi. Untuk membuat tentang populasi ini,umumnya penelitiam secara sampling dilakukan. Jadi sample yang representative diambil dari populasi lalu datamya dikumpulkan dan dianalisis. Atas dasar dari hasil analisis ini dan berbagai pertimbangan yang perlu, dibuat kesimpulan bagaimana karakteristik populasi terebut. Jelas bahwa kesimpulan yang dibuat, kebenarannya tidakla pasti sehingga timbul persoalan bagai mana keyakinan kita untuk mempercayai kebenaran kesimpulan yang dibuat. Yakinlah bahwa kesimpulan yang dibuat itu benar, atau ragu ragukah utuk mempercayainya. Untuk ini diperlukan teori baru yang disebut PELUANG. Teori ini antara lain membahas tentang ukuran atau derajat ketidak pastian suatu peristiwa.
2. DEFINISI PELUANG
Mengundi dengan sebuah mata uang logam atau sebuah dadu, membaca temperature udara setiap hari dari thermometer, menghitung banyak barang rusak yang dihasilkan setiap hari, mencatat banyak kendaraan yan melalui sebuah tikungan setiap jam dan masih banyak contoh lainnya lagi, merupakan eksperimen yang dapat diulangi. Dari eksperimen demikian hasil semua yang mungkim terjadi bias dicatat. Segala bagian yang mungkin didapat dari hasil ini dinamakan peristiwa.
Contoh :
Ambil eksperimen mengenai mencatat banyaknya kendaraan yang melaluisebuah tikunga setiap jam. Hasilnya bias terdapat 0, 1, 2, 3, 4,…. Buah kendaraan setiapjam yang melalui tikungan tersebut.berapa peristiwa yang didapat misalnya : tidak ada kendaraan yang melaluitikungan itu selama satu jam, lebih dari tiga kendaraan yang melaui tikungan itu selama satu jam yang melalui tikungan dan sebagainya.
Jawab :
Untuk menyatakan peristiwa akan digunakan huruf – huruf besar A. B, C, …… baik disertai indeks ataupun tidak. Misalnya A berarti tidak ada kendaraan yang melalui tikungan selama satu jam, B berarti ada 10 kendaraan dalam satu jam yang melaui tikungan, dan sebagainya.
Defenisi :
Dua peristiwa atau lebih dinamakan saling eksklusif atau saling asing jika terjadinya peristiwa yang satu mencegah terjadinya yang lain.
Distribusi Peluang Teoritis
Titik-titik contoh di dalam Ruang Sampel (S) dapat disajikan dalam bentuk numerik/bilangan.
.
• Peubah Acak
Fungsi yang mendefinisikan titik-titik contoh dalam ruang contoh sehingga memiliki nilai berupa bilangan nyata disebut : PEUBAH ACAK = VARIABEL ACAK = RANDOM VARIABLE (beberapa buku juga menyebutnya sebagai STOCHASTIC VARIABLE
• X dan x
Biasanya PEUBAH ACAK dinotasikan sebagai X (X kapital)
Nilai dalam X dinyatakan sebagai x (huruf kecil x).
Contoh 1 :
Pelemparan sekeping Mata Uang setimbang sebanyak 3 Kali
S : {GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA}
dimana G = GAMBAR dan A = ANGKA
X: setiap satu sisi GAMBAR bernilai satu (G = 1)
S : {GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA}
3 2 2 2 1 1 1 0
Perhatikan bahwa X{0,1,2,3}
Nilai x1= 0, x2= 1 x3= 2, x4= 3
• Kategori Peubah Acak
Peubah Acak dapat dikategorikan menjadi:
a. Peubah Acak Diskrit :
nilainyaberupa bilangan cacah, dapat dihitung dan terhingga.
untuk hal-hal yang dapat dicacah
Misal : Banyaknya Produk yang rusak = 12 buah
Banyak pegawai yang di-PHK= 5 orang
b. Peubah Acak Kontinyu:
nilainya berupa selang bilangan, tidak dapat di hitung dan tidak terhingga
(memungkinkan pernyataan dalam bilangan pecahan)
untuk hal-hal yang diukur
(jarak, waktu, berat, volume)
Misalnya Jarak Pabrik ke Pasar = 35.57 km
Waktu produksi per unit = 15.07 menit
Berat bersih produk = 209.69 gram
Volume kemasan = 100.00 cc
• Distribusi Peluang Teoritis
Tabel atau Rumus yang mencantumkan semua kemungkinan nilai peubah acak berikut peluangnya.
Berhubungan dengan kategori peubah acak, maka dikenal :
a. Distribusi Peluang Diskrit : Binomial, Poisson
b. Distribusi Peluang Kontinyu : Normal*) t, F, ²(chi kuadrat)
2. Distribusi Peluang Diskrit
2.1 Distribusi Peluang Binomial
• Percobaan Binomial
Percobaan Binomial adalah percobaan yang mempunyai ciri-ciri sebagai berikut:
1. Percobaan diulang n kali
2. Hasil setiap ulangan hanya dapat dikategorikan ke dalam 2 kelas;
Misal: "BERHASIL" atau "GAGAL"
("YA" atau "TIDAK"; "SUCCESS" or "FAILED")
3. Peluang keberhasilan = p dan dalam setiap ulangan nilai p tidak berubah.
Peluang gagal = q = 1- p.
4. Setiap ulangan bersifat bebas satu dengan yang lain.
Definisi Distribusi Peluang Binomial
untuk x = 0,1,23,...,n
n: banyaknya ulangan
x: banyak keberhasilan dalam peubah acak X
p: peluang berhasil pada setiap ulangan
q: peluang gagal = 1 - p pada setiap ulangan
Contoh :
Tentukan peluang mendapatkan "MATA 1" muncul 3 kali pada pelemparan 5 kali sebuah dadu setimbang!
Kejadian sukses/berhasil = mendapat "MATA 1"
x = 3
n = 5 * pelemparan diulang 5 kali
p = q = 1- =
= = 10 0.003215...= 0.03215...
Contoh :
Peluang seorang mahasiswa membolos adalah 6:10, jika terdapat 5 mahasiswa, berapa peluang terdapat 2 orang mahasiswa yang tidak membolos?
Kejadian yang ditanyakan Kejadian SUKSES = TIDAK MEMBOLOS
Yang diketahui peluang MEMBOLOS = q = 6 : 10 = 0.60
p = 1 - q = 1 - 0.60 = 0.40 x = 2, n = 5
b(x = 2; n = 5, p = 0.40) = ................
Tabel Peluang Binomial
Soal-soal peluang peluang binomial dapat diselesaikan dengan bantuan Tabel Distribusi Peluang Binomial (Lihat hal 157-162, Statistika 2)
Cara membaca Tabel tersebut :
Misal :
n x p = 0.10 p = 0.15 p = 0.20 dst
5 0 0.5905 0.4437 0.3277
1 0.3280 0.3915 0.4096
2 0.0729 0.1382 0.2048
3 0.0081 0.0244 0.0512
4 0.0004 0.0020 0.0064
5 0.0000 0.0001 0.0003
Perhatikan Total setiap Kolom p = 1.0000 (atau karena pembulatan, nilainya tidak persis = 1.0000 hanya mendekati 1.0000)
x = 0 n = 5 p = 0.10 b(0; 5, 0.10) = 0.5905
x =1 n = 5 p = 0.10 b(1; 5, 0.10) = 0.3280
Jika 0* x * 2, n = 5 dan p = 0.10 maka b(x; n, p) =
b(0; 5, 0.10)+ b(1; 5, 0.10)+b(2;5,0.10)
= 0.5905 + 0.3280 +0.0729 = 0.9914
Contoh :
Suatu perusahaan “pengiriman paket ” terikat perjanjian bahwa keterlambatan paket akan menyebabkan perusahaan harus membayar biaya kompensasi.
Jika Peluang setiap kiriman akan terlambat adalah 0.20 Bila terdapat 5 paket, hitunglah probabilitas :
a. Tidak ada paket yang terlambat, sehingga perusahaan tidak membayar biaya kompensasi?
(x = 0)
b. Lebih dari 2 paket terlambat? (x 2)
c. Tidak Lebih dari 3 paket yang terlambat?(x 3)
d. Ada 2 sampai 4 paket yang terlambat?(2 x 4)
e. Paling tidak ada 2 paket yang terlambat?(x
Jawab :
a. x = 0 b(0; 5, 0.20) = 03277 (lihat di tabel atau dihitung dgn rumus)
b. x 2 Lihat tabel dan lakukan penjumlahan sebagai berikut :
b(3; 5, 0.20) + b(4; 5, 0.20) + b(5; 5, 0.20) =
0.0512+ 0.0064 + 0.0003 = 0.0579
atau .....
1 - b(x 2) = 1 - [b(0; 5, 0.20) + b(1; 5, 0.20) + b(2; 5, 0.20) = 1 - [0.3277 + 0.4096 + 0.2048)= 1 - 0.9421 = 0.0579
Rata-rata dan Ragam Distribusi Binomial b(x; n, p) adalah
Rata-rata * = np
Ragam ² = npq
n = ukuran populasi
p = peluang keberhasilan setiap ulangan
q = 1 - p = peluang gagal setiap ulangan
Distribusi Peluang Poisson
Percobaan Poisson memiliki ciri-ciri berikut :
1. Hasil percobaan pada suatu selang waktu dan tempat tidak tergantung dari hasil percobaan di selang waktu dan tempat yang lain yang terpisah
2. Peluang terjadinya suatu hasil percobaan sebanding dengan panjang selang waktu dan luas tempat percobaan terjadi. Hal ini berlaku hanya untuk selang waktu yang singkat dan luas daerah yang sempit
3. Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi pada satu selang waktu dan luasan tempat yang sama diabaikan
Definisi Distribusi Peluang Poisson :
e : bilangan natural = 2.71828...
x : banyaknya unsur BERHASIL dalam sampel
: rata-rata keberhasilan
perhatikan rumus yang digunakan! Peluang suatu kejadian Poisson hitung dari rata-rata populasi ()
• Tabel Peluang Poisson
Seperti halnya peluang binomial, soal-soal peluang Poisson dapat diselesaikan dengan Tabel Poisson (Statistika 2, hal 163-164)
Cara membaca dan menggunakan Tabel ini tidak jauh berbeda dengan Tabel Binomial
Misal: x = 4.5 = 5.0
0 0.0111 0.0067
1 0.0500 0.0337
2 0.1125 0.0842
3 0.1687 0.1404
dst dst dst
15 0.0001 0.0002
Poisson (2; 4.5) = 0.1125
Poisson (x < 1125 =" 0.1736"> 2;4.5) = poisson(3; 4.5) + poisson(4; 4.5) +...+ poisson(15;4.5)
atau
= 1 - poisson(x 2)
= 1 - [poisson(0;4.5) + poisson(1; 4.5)+ poisson(2; 4.5)]
= 1 - [0.0111 + 0.0500 + 0.1125 ] = 1 - 0.1736 = 0.8264
Contoh :
Rata-rata seorang sekretaris baru melakukan 5 kesalahan ketik per halaman. Berapa peluang bahwa pada halaman berikut ia membuat:
a. tidak ada kesalahan?(x = 0)
b. tidak lebih dari 3 kesalahan?( x 3)
c. lebih dari 3 kesalahan?(x >3)
d. paling tidak ada 3 kesalahan (x 3)
Jawab:
* = 5
a. x = 0 * dengan rumus? hitung poisson(0; 5)
atau
* dengan Tabel Distribusi Poisson
di bawah x:0 dengan * = 5.0 * (0; 5.0) = 0.0067
b. x * 3 * dengan Tabel Distribusi Poisson hitung
poisson(0; 5.0) + poisson(1; 5.0) + poisson(2; 5.0) + poisson(3; 5.0) =
0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404 = 0.2650
c. x 3 * poisson( x * 3; 5.0) = poisson(4; 5.0) + poisson(5; 5.0) + poisson (6; 5.0) +
poisson(7; 5.0) + ... + poisson(15; 5.0)
atau
* poisson(x >3) = 1 - poisson(x*3)
= 1 - [poisson(0; 5.0) + poisson(1; 5.0) + poisson(2; 5.0) poisson(3; 5.0)]
= 1 - [0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404]
= 1 - 0.2650
= 0.7350
Pendekatan Poisson untuk Distribusi Binomial :
• Pendekatan Peluang Poisson untuk Peluang Binomial, dilakukan jika n besar (n > 20) dan p sangat kecil (p < p =" =" n =" 5"> 3
jika diselesaikan dengan peluang Binomial b(x > 3; 5 000, 0.002)
tidak ada di Tabel, jika menggunakan rumus
sangat tidak praktis.
p = 0.002 n = 5 000 x>3
= n p = 0.002 5 000 = 10
diselesaikan dengan peluang Poisson poisson (x > 3; 10) = 1 - poisson (x 3)
= 1 - [poisson (0;10) + poisson(1; 10) + poisson(2;10) + poisson(3; 10)
= 1 - [0.0000 + 0.0005 + 0.0023 ] = 1 - 0.0028 = 0.9972
Distribusi Peluang Kontinyu
Distribusi Normal
• Nilai Peluang peubah acak dalamDistribusi Peluang Normal dinyatakan dalam luas dari di bawah kurva berbentuk genta\lonceng (bell shaped curve).
• Kurva maupun persamaan Normal melibatkan nilai x, dan .
• Keseluruhan kurva akan bernilai 1, ini mengambarkan sifat peluang yang tidak pernah negatif dan maksimal bernilai satu
Perhatikan gambar di bawah ini:
x
Gambar1. Kurva Distribusi Normal
Definisi Distribusi Peluang Normal
n(x; , ) =
untuk nilai x : - < e =" 2.71828....." tabel =" 0.50" tanda =" .">
Cara membaca Tabel Nilai z
z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
0.0
0.1
0.2
::
1.0
1.1
1.2 0.3944
:
3.4
Nilai 0.3944 adalah untuk luas atau peluang 0 <>1.25 ) = 0.5 - 0.3944 = 0.1056
0 1.25
Gambar 3. Peluang (z>1.25)
P(z < 3944 =" 0.8944">-1.25) = 0.5 + 0.3944 = 0.8944
-1.25 0
Gambar 6. Peluang (z>-1.25)
P(z < -1.25) = 0.5 - 0.3944 = 0.1056 -1.25 0 Gambar 7. Peluang (z < -1.25) Jika ingin dicari peluang diantara suatu nilai z z1 <><1.25) 3944 =" 0.788"><1.25) 3944 =" 0.0088"><1.25) 3944 =" 0.0171"><1.35) buruh =" $" baku =" $" 1293 =" 0.3707" 80 =" 0.3707" 000 =" 370.7"> 8.30
P(x > 8.30) = P(z > 0.50) = 0.5 - 0.1915 = 0.3085 (Gambarkan!)
Banyak buruh yang menerima upah/jam lebih dari $ 8.30 = 0.3085 x 1 000
= 308.5 = 309 orang
c. 7.80 < z1 =" -0.33" z2 =" 0.50" 1293 =" 0.3208" 30 =" 0.3208" 000 =" 320.8"> 20 MAKA lakukan pendekatan dengan distribusi NORMAL
dengan = n p
Contoh :
Dari 200 soal pilihan berganda, yang jawabannya terdiri dari lima pilihan (a, b, c,d dan e), berapa peluang anda akan menjawab BENAR lebih dari 50 soal?
n = 300 p = 1/5 = 0.20
q = 1 - 0.20 = 0.80
Kerjakan dengan POISSON
P(x >50, p = 0.20) = n p = 200 0.20 = 40
Poisson (x > 50; = 40 ), = 40 dalam TABEL POISSON menggunakan RUMUS., terlalu rumit!
KERJAKAN dengan NORMAL
P (x > 50, p = 0.20) = n p = 200 0.20 = 40
= 200 0.20 0.80 = 32
=
P(x > 50 , p = 0.20) P (z > ?)
z =
P (z > 1.77) = 0.5 - 0.4616 = 0.0384 = 3.84 %
TUGAS SOAL :
1. Diketahui data umur 40 buah aki mobil serupa jenisnya di catatat sebagai berikut:
2,2 4,1 3,5 4,5 3,2 3,7 3,0 2,6
3,4 1,6 3,1 3,3 3,8 3,1 4,7 3,7
2,5 4,3 3,4 3,6 2,9 3,3 3,9 3,1
3,5 3,1 3,7 4,4 3,2 4,1 1,9 3,4
4,7 3,8 3,2 2,6 3,9 3,0 4,2 3,5
PENYELESAIAN
1. Distribusi Frekuensi
JAWAB : K = 1 + 3,3 log n
= 1 + 3,3 log n
= 1 + 3,3 . 1,6 = 6,28 = 6
2. Wilayah / Jangkauan data
JAWAB : Data yang besar - Data yang kecil
= 4,7 - 1,6
= 3,1
3. Panjang Kelas
JAWAB : Jangkauan Data : Jumlah Kelas
= 3,1 : 6
= 0,51
= 0,
4. LIMIT / PEMBATAS KELAS
JAWAB :
NO KELAS FREKUENSI
1 1,6 – 2 II
2 2,1 – 2,6 IIII
3 2,7 – 3,1 IIIII II
4 3,2 – 3,7 IIIII IIIII IIIII
5 3,8 – 4,2 IIIII II
6 4,3 – 4,8 IIIII
1. DISTRIBUSI FREKUENSI RELATIF
PENYELESAIAN :
NO KELAS FREKUENSI
1 1,6 – 2 5
2 2,1 – 2,6 10
3 2,7 – 3,1 17,5
4 3,2 – 3,7 37,5
5 3,8 – 4,2 17,5
6 4,3 – 4,8 12,5
2. DISTRIBUSI FREKUENSI KUMULATIF
PENYELESAIAN :
KELAS FREKUENSI
UMUR AKI KUMULATIF POSITIF
KURANG DARI 1,6 0
KURANG DARI 2,1 2
KURANG DARI 2,7 6
KURANG DARI 3,2 13
KURANG DARI 3,8 28
KURANG DARI 4,3 35
KURANG DARI 4,8 40
KELAS FREKUENSI
UMUR AKI KUMULATIF POSITIF
1,6 ATAU LEBIH 0
2,1 ATAU LEBIH 2
2,7 ATAU LEBIH 6
3,2 ATAU LEBIH 13
3,8 ATAU LEBIH 28
4,3 ATAU LEBIH 35
4,8 ATAU LEBIH 40
DIAGRAM HISTROGRAM
DIAGRAM POLIGON
DIAGRAM KUMULATIF KURANG DARI (OGIEF POSITIF)
DIAGRAM KUMULATIF LEBIH DARI (OGIEF POSITIF)
Distribusi Poisson
Distribusi poisson disebut juga distribusi peristiwa yang jarang terjadi, ditemukan oleh S.D. Poisson (1781–1841), seorang ahli matematika berkebangsaan Perancis. Distribusi Poisson termasuk distribusi teoritis yang memakai variabel random diskrit. Distribusi poisson adalah distribusi nilai-nilai bagi suatu variabel random X (X diskret), yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu tertentu atau di suatu daerah tertentu.
Ciri–Ciri Distribusi Poisson
Ada beberapa ciri untuk menentukan apakah data tersebut temasuk dalam kriteria Distribusi Poisson atau tidak (Walpole, 1995). Adapun ciri-ciri tersebut adalah:
a. Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu atau suatu daerah tertentu tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada interval waktu atau daerah lain yang terpisah.
b. Probabilitas terjadinya hasil percobaan selama suatu interval waktu yang singkat atau dalam suatu daerah yang kecil, sebanding dengan panjang interval waktu atau besarnya daerah tersebut dan tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi di luar interval waktu atau daerah tersebut.
a. Probabilitas lebih dari satu hasil percobaan yang terjadi dalam interval waktu yang singkat atau dalam daerah yang kecil dapat diabaikan.
Selain itu, Distribusi poisson banyak digunakan dalam hal berikut:
a. Menghitung probabilitas terjadinya peristiwa menurut satuan waktu, ruang atau isi, luas, panjang tertentu, seperti menghitung probabilitas dari:
• Banyaknya penggunaan telepon per menit atau banyaknya mobil yang lewat selama 5 menit di suatu ruas jalan,
• Banyaknya bakteri dalam satu tetes atau 1 liter air,
• Banyaknya kesalahan ketik per halaman sebuah buku, dan
• Banyaknya kecelakaan mobil di jalan tol selama minggu pertama bulan Oktober.
• Tabel Peluang Poisson
Seperti halnya peluang binomial, soal-soal peluang Poisson dapat diselesaikan dengan Tabel Poisson (Statistika 2, hal 163-164)
Cara membaca dan menggunakan Tabel ini tidak jauh berbeda dengan Tabel Binomial
Misal: x m = 4.5 m = 5.0
0 0.0111 0.0067
1 0.0500 0.0337
2 0.1125 0.0842
3 0.1687 0.1404
dst dst dst
15 0.0001 0.0002
poisson(2; 4.5) = 0.1125
poisson(x < 1125 =" 0.1736"> 2;4.5) = poisson(3; 4.5) + poisson(4; 4.5) +...+ poisson(15;4.5)
atau
= 1 - poisson(x £ 2)
= 1 - [poisson(0;4.5) + poisson(1; 4.5)+ poisson(2; 4.5)]
= 1 - [0.0111 + 0.0500 + 0.1125 ] = 1 - 0.1736 = 0.8264
Contoh 6 :
Rata-rata seorang sekretaris baru melakukan 5 kesalahan ketik per halaman. Berapa peluang bahwa pada halaman berikut ia membuat:
a. tidak ada kesalahan?(x = 0)
b. tidak lebih dari 3 kesalahan?( x £ 3)
c. lebih dari 3 kesalahan?(x >3)
d. paling tidak ada 3 kesalahan (x ³ 3)
Jawab:
* = 5
a. x = 0 * dengan rumus? hitung poisson(0; 5)
atau
* dengan Tabel Distribusi Poisson
di bawah x:0 dengan * = 5.0 * (0; 5.0) = 0.0067
b. x * 3 * dengan Tabel Distribusi Poisson hitung
poisson(0; 5.0) + poisson(1; 5.0) + poisson(2; 5.0) + poisson(3; 5.0) =
0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404 = 0.2650
c. x > 3 * poisson( x * 3; 5.0) = poisson(4; 5.0) + poisson(5; 5.0) + poisson (6; 5.0) +
poisson(7; 5.0) + ... + poisson(15; 5.0)
atau
* poisson(x >3) = 1 - poisson(x*3)
= 1 - [poisson(0; 5.0) + poisson(1; 5.0) + poisson(2; 5.0) + poisson(3; 5.0)]
= 1 - [0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404]
= 1 - 0.2650
= 0.7350
Pendekatan Poisson untuk Distribusi Binomial :
• Pendekatan Peluang Poisson untuk Peluang Binomial, dilakukan jika n besar (n > 20) dan p sangat kecil (p < m =" n" p =" =" n =" 5"> 3
jika diselesaikan dengan peluang Binomial ® b(x > 3; 5 000, 0.002)
tidak ada di Tabel, jika menggunakan rumus sangat tidak praktis.
p = 0.002 n = 5 000 x>3
m = n ´ p = 0.002 ´ 5 000 = 10
diselesaikan dengan peluang Poisson ® poisson (x > 3; 10) = 1 - poisson (x £ 3)
= 1 - [poisson (0;10) + poisson(1; 10) + poisson(2;10) + poisson(3; 10)
= 1 - [0.0000 + 0.0005 + 0.0023 ] = 1 - 0.0028 = 0.9972
DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK
Distribusi hipergeometri adalah suatu jenis distribusi variable random diskrit yang digunakan untuk mecari probabilitas x sukses dari situasi berikut :
•Terdapat penyampelan dari N populasi
•Hanya ada dua jenis kejadian yaitu sukses dan gagal
•Jumlah sukses total adalah T
•Sample yang telah diambil tidak dikembalikan (dengan kata lain, penyampelan satu dengan yang lain adalah dependen atau saling bergantung)
Pada dasarnya proses yang berlaku disini adalah proses Bernoulli (distribusi binomial), tetapi antara eksperimen yang satu dan yang lainnya [b]tidak independent[/b].
Distribusi Hipergeometris digunakan untuk menghitung probabilitas dari peristiwa yangbersifat dependen (bersyarat) dan variabelnya bersifat diskrit. Rumus yang digunakan : P(x1, x2, ..., xi) = (n1Cx1.n2Cx2 ... niCxi)/(nCx); dimana x1, x2, ... xi : banyaknya peristiwa yang diharapkan terjadi dari setiap peristiwa; n1, n2, ...ni : banyaknya seluruh frekuensi yang dapat terjadi dari setiap peristiwa; n = n1 + n2 + ... + ni; dan x = x1 + x2 + ... + xi.
Contoh :
Sebuah kotak berisi 10 bola, yang terdiri 4 bola warna merah dan 6 bola warna hitam. Jika diambil sebanyak 3 bola secara berturut-turut (tanpa dikembalikan) berapa probabilitas terambil bola 2 warna merah dan 1 warna hitam.
Jawab :
X1 = kejadian bola warna merah
X2 = kejadian bola warna hitam
P(2 ; 1) = ((4C2).(6C1))/(10C3) = 36/120 = 0,3
DISTRIBUSI BINOMIAL
DEFINISI
Distribusi Binomial adalah suatu distribusi probabilitas yang dapat digunakan bilamana suatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli.
Misalnya, dalam perlemparan sekeping uang logam sebanyak 5 kali, hasil setiap ulangan mungkin muncul sisi gambar atau sisi angka. Begitu pula, bila kartu diambil berturut-turut, kita dapat memberi label “berhasil” bila kartu yang terambil adalah kartu merah atau “gagal” bila yang terambil adalah kartu hitam. Ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas dan peluang keberhasilan setiap ulangan tetap sama,taitu sebasar ½..(Ronald E. Walpole)
CIRI – CIRI DISTRIBUSI BINOMIAL
Percobaan diulang sebanyak n kali.
Hasil setiap ulangan dapat dikategorikan ke dalam 2 kelas, misal :
“BERHASIL” atau “GAGAL”;
“YA” atau “TIDAK”;
“SUCCESS” or “FAILED”.
berhasil / sukses dinyatakan dengan p dan dalam setiap ulangan nilai p tetap. Peluang gagal dinyatakan dengan q, dimana q = 1-p.
Setiap ulangan bersifat bebas (independen) satu dengan lainnya.
Percobaannya terdiri atas n ulangan (Ronald.E Walpole)
Nilai n <> 0.05
RUMUS DISTRIBUSI BINOMIAL
b(x;n,p) = nCx px qn-x dimana x = 0,1,2,3,…,n
n : banyaknya ulangan
x : banyaknya keberhasilan dalam peubah acak x
p : peluang berhasil dalam setiap ulangan
q : peluang gagal, dimana q = 1-p dalam setiap ulangan
Catatan : Agar anda mudah dalam membedakan p dengan q anda harus dapat menetapkan mana kejadian SUKSES dan mana kejadian GAGAL. Anda dapat menetapkan bahwa kejadian yang menjadi pertanyaan atau ditanyakan adalah = kejadian SUKSES
Suatu percobaan statistik disebut percobaan Binomial atau Bernoulli jika percobaan statistik tersebut mempunyai ciri-ciri :
1. Percobaan diulang sebanyak n kali
2. Setiap hasil percobaan dibedakan menjadi dua, yaitu kejadian sukses (S) dan kejadian gagal (G)
3. Probabilitas terjadinya kejadian sukses (S) dan gagal (G), yaitu P (sukses) = P(S) dan P(gagal) = 1 – p = q adalah tetap.
4. Semua hasil yang muncul saling bebas satu sama lain.
Suatu percobaan binomial yang diulang sebanyak n kali, dengan P (sukses) = P(S) = p dan P (gagal) = P(G) = 1 – p = q adalah tetap pada setiap percobaan dan X menyatakan banyaknya sukses dalam percobaan binomial, maka variabel acak X mempunyai distribusi binomial yang dirumuskan sebagai berikut :
f(x) = P(X=x) = b(x,n,p) = ( n | x ) p^xq^n-x
di mana x = 0,1,2 …,n dan q = 1 – p
p dan q disebut parameter.
Distribusi Binomial mempunyai nilai rata-rata variansi, simpangan baku, koefisien kemiringan dan koefisien keruncingan sebagai berikut :
Rata –rata
u = n.p
Variansi
tho^2 = npq
Simpangan baku
tho = \/npq
Koefisien Kemiringan
tho^3 = q - p / \/npq
Koefisien Keruncingan
tho^4 = 3 + 1-6pq / npq
Contoh Distribusi Binomial :
1. Berdasarkan data biro perjalanan PT Mandala Wisata air, yang khusus menangani perjalanan wisata turis manca negara, 20% dari turis menyatakan sangat puas berkunjung ke Indonesia, 40% menyatakan puas, 25% menyatakan biasa saja dan sisanya menyatakan kurang puas. Apabila kita bertemu dengan 5 orang dari peserta wisata turis manca negara yang pernah berkunjung ke Indonesia,
berapakah probabilitas :
a.Paling banyak 2 di antaranya menyatakan sangat puas.
b.Paling sedikit 1 di antaranya menyatakan kurang puas
c.Tepat 2 diantaranya menyatakan biasa saja
d.Ada 2 sampai 4 yang menyatakan puas
penyelesaian :
a.X ≤ 2
Lihat tabel dan lakukan penjumlahan sebagai berikut :
b(x; n, p) = b(0; 5, 0.20) + b(1; 5, 0.20) + b(2; 5, 0.20) =
0.32768 + 0.40960 + 0.20480 = 0.94208 atau
b(x=0) = 5C0 (0.20)0 (0.80)5 = 0.32768
b(x=1) = 5C1 (0.20)0 (0.80)4 = 0.40960
b(x=2) = 5C2 (0.20)0 (0.80)3 = 0.20480
+
Maka hasil x ≤ 2 adalah = 0.94208
b.X ≥ 1
penjumlahan sebagai berikut :
b(1; 5, 0.15) + b(2; 5, 0.15) + b(3; 5, 0.15) + b(4; 5, 0.15) + b(5; 5, 0.15) =
0.3915 + 0.1382 + 0.0244 + 0.002 + 0.0001 = 0.5562 atau
b(x ≥1; 5, 0.15) = 1 – b(x = 0)
1 – 5C0 (0.15)0 (0.85)5
1 – 0.4437 = 0.5563
c.X = 2
b(2; 5, 0.25) = 0.2637
d.X ≤ 2 X ≤ 4
penjumlahan sebagai berikut :
b(2; 5, 0.40) + b(3; 5, 0.40) + b(4; 5, 0.40) = 0.3456 + 0.2304 + 0.0768 = 0.6528
Analisis masing – masing point :
a.Sebanyak paling banyak 2 dari 5 orang dengan jumlah 0.94208 atau 94,28% yang menyatakan sangat puas adalah sangat besar.
b.Paling sedikit 1 dari 5 orang (berarti semuanya) dengan jumlah 0,5563 atau 55,63% yang menyatakan kurang puas dapat dikatakan cukup besar (karena lebih dari 50%).
c.Tepat 2 dari 5 orang yang menyatakan biasa saja dengan jumlah 0,2637 atau 26,37% adalah kecil (karena dibawah 50%).
d.Ada 2 sampai 4 yang menyatakan puas dengan jumlah 0,6528% atau 65,28% dapat dikatakan cukup besar.
Analisis keseluruhan :
A. Persentase
Jika diambil persentase terbesar tanpa memperhatikan jumlah X, maka persentase terbesar ada di point pertama (a) yaitu 94,28% yang menyatakan sangat puas. Hal tersebut menandakan banyak turis manca negara yang sangat menyukai Indonesia.
B. Nilai X
Jika dilihat dari jumlah X, maka perlu diperhatikan point kedua (b). Jumlah X adalah paling sedikit 1 dari 5 orang (berarti X>=1) yaitu 55,63% yang menyatakan kurang puas . Hal tersebut berarti kelima (semua) turis manca negara kurang puas terhadap kunjungannya ke Indonesia.
Distribusi Multinomial
Dengan menggunakan distribusi binomial hanya dapat untuk mencari nilai probabilitas dengan dua kategori, misalnya baik dan rusak, lulus dan gagal, untung dan rugi dan lain-lain. Tetapi untuk mencari nilai probabilitas dengan beberapa kategori, misalnya peristiwa tinggi, sedang dan rendah, peristiwa merah, kuning, biru dan hitam dan lain-lain, tidak dapat dilakukan dengan distribusi binomial. Untuk menjawab masalah tersebut maka dapat digunakan Distribusi Multinomial, yaitu digunakan untuk mencari nilai probabilitas dengan lebih dari dua kategori dan bersifat independen. Berdasarkan hal tersebut, maka distribusi multinomial dapat dirumuskan sebagai berikut:
Percobaan Binomial menjadi suatu percobaan multinomial bila kita membuat setiap percobaan mempunyai lebih dari 2 keluaran yang mungkin. Penarikan sebuah kartu dari suatu tumpukan dengan pengembalian merupakan percobaan multinomial bila ke-empat jenis kartu menjadi keluarannya.
Secara umum, Bila suatu percobaan dapat menghasilkan salah satu dari k keluaran yan mungkin E1,E2, ………, Ek dengan probabilitas P1,P2, ………, Pk maka sebaran probabilitaspeubah acak X1,X2, ……….., Xk yang mewakili jumlah kejadian untuk E1,E2, ………, Ek didalam n percobaan yang bebas adalah
n X1 X2 ……X3
f(X1,X2,…….xk;P1,P2,…….Pk,n)= X1,X2,….XK P1 P2 PK
Dengan
∑ Xi = n dan ∑ Pi = 1
Contoh :
Bila sepasang dadu dilemparkan 6 kali, berapakah probabilitas mendapatkan suatu total 7 atau 11 ebanyak 2 kali , pasangan angka yang sama sekali, dan sembarang gabungan lainnya sebanyak 3 kali.
penyelesaian :
Kita daftar kejadian-kejadian yang mungkin berikut ini :
E1= sebuah total 7 atau 11 muncul
E2 = Pasangan angka yang sama muncul
E3 = Bukan angka sama atau bukan total 7 atau 11 yang muncul
Probabilitas yang berkesuaian untuk percobaan yang diketahui tersebut adalah p1 = 2/9 , p2= 1/6 dan p3 = 11/18.
Nilai-nilia in tetap konstan untuk ke 6 percobaan tersebut. Dengan menggunakan sebaran multinomial dengan x1 = 2 , x2 = 1, dan x3=3 kita dapatkan bahwa probabilitas yang diperlukan adalah
Distribusi Peluang Teoritis
1. Pendahuluan
Titik-titik contoh di dalam Ruang Sampel (S) dapat disajikan dalam bentuk numerik/bilangan.
.
• Peubah Acak
Fungsi yang mendefinisikan titik-titik contoh dalam ruang contoh sehingga memiliki nilai berupa bilangan nyata disebut : PEUBAH ACAK = VARIABEL ACAK = RANDOM VARIABLE (beberapa buku juga menyebutnya sebagai STOCHASTIC VARIABLE )
• X dan x
Biasanya PEUBAH ACAK dinotasikan sebagai X (X kapital)
Nilai dalam X dinyatakan sebagai x (huruf kecil x).
Contoh 1 :
Pelemparan sekeping Mata Uang setimbang sebanyak 3 Kali
S : {GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA}
dimana G = GAMBAR dan A = ANGKA
X: setiap satu sisi GAMBAR bernilai satu (G = 1)
S : {GGG, GGA, GAG, AGG, GAA, AGA, AAG, AAA}
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
3 2 2 2 1 1 1 0
Perhatikan bahwa X{0,1,2,3}
Nilai x1= 0, x2= 1 x3= 2, x4= 3
• Kategori Peubah Acak
Peubah Acak dapat dikategorikan menjadi:
a. Peubah Acak Diskrit :
nilainyaberupa bilangan cacah, dapat dihitung dan terhingga.
® untuk hal-hal yang dapat dicacah
Misal : Banyaknya Produk yang rusak = 12 buah
Banyak pegawai yang di-PHK= 5 orang
b. Peubah Acak Kontinyu:
nilainya berupa selang bilangan, tidak dapat di hitung dan tidak terhingga
(memungkinkan pernyataan dalam bilangan pecahan)
untuk hal-hal yang diukur
(jarak, waktu, berat, volume)
Misalnya Jarak Pabrik ke Pasar = 35.57 km
Waktu produksi per unit = 15.07 menit
Berat bersih produk = 209.69 gram
Volume kemasan = 100.00 cc
• Distribusi Peluang Teoritis
Tabel atau Rumus yang mencantumkan semua kemungkinan nilai peubah acak berikut peluangnya.
Berhubungan dengan kategori peubah acak, maka dikenal :
a. Distribusi Peluang Diskrit : Binomial, Poisson
b. Distribusi Peluang Kontinyu : Normal*) t, F, c²(chi kuadrat)
2. Distribusi Peluang Diskrit
2.1 Distribusi Peluang Binomial
• Percobaan Binomial
Percobaan Binomial adalah percobaan yang mempunyai ciri-ciri sebagai berikut:
1. Percobaan diulang n kali
2. Hasil setiap ulangan hanya dapat dikategorikan ke dalam 2 kelas;
Misal: "BERHASIL" atau "GAGAL"
("YA" atau "TIDAK"; "SUCCESS" or "FAILED")
3. Peluang keberhasilan = p dan dalam setiap ulangan nilai p tidak berubah.
Peluang gagal = q = 1- p.
4. Setiap ulangan bersifat bebas satu dengan yang lain.
Definisi Distribusi Peluang Binomial
untuk x = 0,1,23,...,n
n: banyaknya ulangan
x: banyak keberhasilan dalam peubah acak X
p: peluang berhasil pada setiap ulangan
q: peluang gagal = 1 - p pada setiap ulangan
Contoh 2 :
Tentukan peluang mendapatkan "MATA 1" muncul 3 kali pada pelemparan 5 kali sebuah dadu setimbang!
Kejadian sukses/berhasil = mendapat "MATA 1"
x = 3
n = 5 * pelemparan diulang 5 kali
p = q = 1- =
= = 10 ´ 0.003215...= 0.03215...
Contoh 4b:
Peluang seorang mahasiswa membolos adalah 6:10, jika terdapat 5 mahasiswa, berapa peluang terdapat 2 orang mahasiswa yang tidak membolos?
Kejadian yang ditanyakan ® Kejadian SUKSES = TIDAK MEMBOLOS
Yang diketahui peluang MEMBOLOS = q = 6 : 10 = 0.60
p = 1 - q = 1 - 0.60 = 0.40 x = 2, n = 5
b(x = 2; n = 5, p = 0.40) = ....................
Tabel Peluang Binomial
Soal-soal peluang peluang binomial dapat diselesaikan dengan bantuan Tabel Distribusi Peluang Binomial (Lihat hal 157-162, Statistika 2)
Cara membaca Tabel tersebut :
Misal :
n x p = 0.10 p = 0.15 p = 0.20 dst
5 0 0.5905 0.4437 0.3277
1 0.3280 0.3915 0.4096
2 0.0729 0.1382 0.2048
3 0.0081 0.0244 0.0512
4 0.0004 0.0020 0.0064
5 0.0000 0.0001 0.0003
Perhatikan Total setiap Kolom p = 1.0000 (atau karena pembulatan, nilainya tidak persis = 1.0000 hanya mendekati 1.0000)
x = 0 n = 5 p = 0.10 b(0; 5, 0.10) = 0.5905
x =1 n = 5 p = 0.10 b(1; 5, 0.10) = 0.3280
Jika 0* x * 2, n = 5 dan p = 0.10 maka b(x; n, p) =
b(0; 5, 0.10)+ b(1; 5, 0.10)+b(2;5,0.10)
= 0.5905 + 0.3280 +0.0729 = 0.9914
Contoh 5
Suatu perusahaan “pengiriman paket ” terikat perjanjian bahwa keterlambatan paket akan menyebabkan perusahaan harus membayar biaya kompensasi.
Jika Peluang setiap kiriman akan terlambat adalah 0.20 Bila terdapat 5 paket, hitunglah probabilitas :
a. Tidak ada paket yang terlambat, sehingga perusahaan tidak membayar biaya kompensasi?
(x = 0)
b. Lebih dari 2 paket terlambat? (x >2)
c. Tidak Lebih dari 3 paket yang terlambat?(x £ 3)
d. Ada 2 sampai 4 paket yang terlambat?(2 £ x £ 4)
e. Paling tidak ada 2 paket yang terlambat?(x ³ 2)
Jawab
a. x = 0 ® b(0; 5, 0.20) = 03277 (lihat di tabel atau dihitung dgn rumus)
b. x > 2 ® Lihat tabel dan lakukan penjumlahan sebagai berikut :
b(3; 5, 0.20) + b(4; 5, 0.20) + b(5; 5, 0.20) =
0.0512+ 0.0064 + 0.0003 = 0.0579
atau .....
® 1 - b(x £ 2) = 1 - [b(0; 5, 0.20) + b(1; 5, 0.20) + b(2; 5, 0.20) = 1 - [0.3277 + 0.4096 + 0.2048)= 1 - 0.9421 = 0.0579
Rata-rata dan Ragam Distribusi Binomial b(x; n, p) adalah
Rata-rata * = np
Ragam s ² = npq
n = ukuran populasi
p = peluang keberhasilan setiap ulangan
q = 1 - p = peluang gagal setiap ulangan
2.3 Distribusi Peluang Poisson
Percobaan Poisson memiliki ciri-ciri berikut :
1. Hasil percobaan pada suatu selang waktu dan tempat tidak tergantung dari hasil percobaan di selang waktu dan tempat yang lain yang terpisah
2. Peluang terjadinya suatu hasil percobaan sebanding dengan panjang selang waktu dan luas tempat percobaan terjadi. Hal ini berlaku hanya untuk selang waktu yang singkat dan luas daerah yang sempit
3. Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi pada satu selang waktu dan luasan tempat yang sama diabaikan
Definisi Distribusi Peluang Poisson :
e : bilangan natural = 2.71828...
x : banyaknya unsur BERHASIL dalam sampel
m : rata-rata keberhasilan
Perhatikan rumus yang digunakan! Peluang suatu kejadian Poisson hitung dari rata-rata populasi (m)
• Tabel Peluang Poisson
Seperti halnya peluang binomial, soal-soal peluang Poisson dapat diselesaikan dengan Tabel Poisson (Statistika 2, hal 163-164)
Cara membaca dan menggunakan Tabel ini tidak jauh berbeda dengan Tabel Binomial
Misal: x m = 4.5 m = 5.0
0 0.0111 0.0067
1 0.0500 0.0337
2 0.1125 0.0842
3 0.1687 0.1404
dst dst dst
15 0.0001 0.0002
poisson(2; 4.5) = 0.1125
poisson(x < 1125 =" 0.1736"> 2;4.5) = poisson(3; 4.5) + poisson(4; 4.5) +...+ poisson(15;4.5)
atau
= 1 - poisson(x £ 2)
= 1 - [poisson(0;4.5) + poisson(1; 4.5)+ poisson(2; 4.5)]
= 1 - [0.0111 + 0.0500 + 0.1125 ] = 1 - 0.1736 = 0.8264
Contoh 6 :
Rata-rata seorang sekretaris baru melakukan 5 kesalahan ketik per halaman. Berapa peluang bahwa pada halaman berikut ia membuat:
a. tidak ada kesalahan?(x = 0)
b. tidak lebih dari 3 kesalahan?( x £ 3)
c. lebih dari 3 kesalahan?(x >3)
d. paling tidak ada 3 kesalahan (x ³ 3)
Jawab:
* = 5
a. x = 0 * dengan rumus? hitung poisson(0; 5)
atau
* dengan Tabel Distribusi Poisson
di bawah x:0 dengan * = 5.0 * (0; 5.0) = 0.0067
b. x * 3 * dengan Tabel Distribusi Poisson hitung
poisson(0; 5.0) + poisson(1; 5.0) + poisson(2; 5.0) + poisson(3; 5.0) =
0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404 = 0.2650
c. x > 3 * poisson( x * 3; 5.0) = poisson(4; 5.0) + poisson(5; 5.0) + poisson (6; 5.0) +
poisson(7; 5.0) + ... + poisson(15; 5.0)
atau
* poisson(x >3) = 1 - poisson(x*3)
= 1 - [poisson(0; 5.0) + poisson(1; 5.0) + poisson(2; 5.0) + poisson(3; 5.0)]
= 1 - [0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404]
= 1 - 0.2650
= 0.7350
Pendekatan Poisson untuk Distribusi Binomial :
• Pendekatan Peluang Poisson untuk Peluang Binomial, dilakukan jika n besar (n > 20) dan p sangat kecil (p < m =" n" p =" =" n =" 5"> 3
jika diselesaikan dengan peluang Binomial ® b(x > 3; 5 000, 0.002)
tidak ada di Tabel, jika menggunakan rumus
sangat tidak praktis.
p = 0.002 n = 5 000 x>3
m = n ´ p = 0.002 ´ 5 000 = 10
diselesaikan dengan peluang Poisson ® poisson (x > 3; 10) = 1 - poisson (x £ 3)
= 1 - [poisson (0;10) + poisson(1; 10) + poisson(2;10) + poisson(3; 10)
= 1 - [0.0000 + 0.0005 + 0.0023 ] = 1 - 0.0028 = 0.9972
3 Distribusi Peluang Kontinyu
3.1 Distribusi Normal
• Nilai Peluang peubah acak dalamDistribusi Peluang Normal dinyatakan dalam luas dari di bawah kurva berbentuk genta\lonceng (bell shaped curve).
• Kurva maupun persamaan Normal melibatkan nilai x, m dan s.
• Keseluruhan kurva akan bernilai 1, ini mengambarkan sifat peluang yang tidak pernah negatif dan maksimal bernilai satu
Perhatikan gambar di bawah ini:
s
m x
Gambar1. Kurva Distribusi Normal
Definisi Distribusi Peluang Normal
n(x; m, s) =
untuk nilai x : -¥ < e =" 2.71828....." p =" 3.14159..." tabel =" 0.50" tanda =" .">
Cara membaca Tabel Nilai z
z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
0.0
0.1
0.2
::
1.0
1.1
1.2 0.3944
:
3.4
Nilai 0.3944 adalah untuk luas atau peluang 0 <>1.25 ) = 0.5 - 0.3944 = 0.1056
0 1.25
Gambar 3. Peluang (z>1.25)
P(z < 3944 =" 0.8944">-1.25) = 0.5 + 0.3944 = 0.8944
-1.25 0
Gambar 6. Peluang (z>-1.25)
P(z < -1.25) = 0.5 - 0.3944 = 0.1056 -1.25 0 Gambar 7. Peluang (z < -1.25) Jika ingin dicari peluang diantara suatu nilai z® z1 <><1.25) 3944 =" 0.788"><1.25) 3944 =" 0.0088"><1.25) 3944 =" 0.0171"><1.35) buruh =" $" baku =" $" m =" 8.00" s =" 0.60" 1293 =" 0.3707" 80 =" 0.3707" 000 =" 370.7"> 8.30
P(x > 8.30) = P(z > 0.50) = 0.5 - 0.1915 = 0.3085 (Gambarkan!)
Banyak buruh yang menerima upah/jam lebih dari $ 8.30 = 0.3085 x 1 000
= 308.5 = 309 orang
c. 7.80 < z1 =" -0.33" z2 =" 0.50" 1293 =" 0.3208" 30 =" 0.3208" 000 =" 320.8" m =" n"> 20 MAKA lakukan pendekatan dengan distribusi NORMAL
dengan m = n ´ p
Contoh 12 :
Dari 200 soal pilihan berganda, yang jawabannya terdiri dari lima pilihan (a, b, c,d dan e), berapa peluang anda akan menjawab BENAR lebih dari 50 soal?
n = 300 p = 1/5 = 0.20
q = 1 - 0.20 = 0.80
Kerjakan dengan POISSON
P(x >50, p = 0.20) m = n ´ p = 200 ´ 0.20 = 40
Poisson (x > 50; m = 40 ), m = 40 dalam TABEL POISSON menggunakan RUMUS., terlalu rumit!
KERJAKAN dengan NORMAL
P (x > 50, p = 0.20) m = n ´ p = 200 ´ 0.20 = 40
= 200 ´ 0.20 ´0.80 = 32
=
P(x > 50 , p = 0.20) ® P (z > ?)
z =
P (z > 1.77) = 0.5 - 0.4616 = 0.0384 = 3.84 %
¯ selesai ¯
• Tabel Peluang Poisson
Seperti halnya peluang binomial, soal-soal peluang Poisson dapat diselesaikan dengan Tabel Poisson (Statistika 2, hal 163-164)
Cara membaca dan menggunakan Tabel ini tidak jauh berbeda dengan Tabel Binomial
Misal: x = 4.5 = 5.0
0 0.0111 0.0067
1 0.0500 0.0337
2 0.1125 0.0842
3 0.1687 0.1404
dst dst dst
15 0.0001 0.0002
poisson(2; 4.5) = 0.1125
poisson(x < 1125 =" 0.1736"> 2;4.5) = poisson(3; 4.5) + poisson(4; 4.5) +...+ poisson(15;4.5)
atau
= 1 - poisson(x 2)
= 1 - [poisson(0;4.5) + poisson(1; 4.5)+ poisson(2; 4.5)]
= 1 - [0.0111 + 0.0500 + 0.1125 ] = 1 - 0.1736 = 0.8264
Contoh 6 :
Rata-rata seorang sekretaris baru melakukan 5 kesalahan ketik per halaman. Berapa peluang bahwa pada halaman berikut ia membuat:
a. tidak ada kesalahan?(x = 0)
b. tidak lebih dari 3 kesalahan?( x 3)
c. lebih dari 3 kesalahan?(x >3)
d. paling tidak ada 3 kesalahan (x 3)
Jawab:
* = 5
a. x = 0 * dengan rumus? hitung poisson(0; 5)
atau
* dengan Tabel Distribusi Poisson
di bawah x:0 dengan * = 5.0 * (0; 5.0) = 0.0067
b. x * 3 * dengan Tabel Distribusi Poisson hitung
poisson(0; 5.0) + poisson(1; 5.0) + poisson(2; 5.0) + poisson(3; 5.0) =
0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404 = 0.2650
c. x 3 * poisson( x * 3; 5.0) = poisson(4; 5.0) + poisson(5; 5.0) + poisson (6; 5.0) +
poisson(7; 5.0) + ... + poisson(15; 5.0)
atau
* poisson(x >3) = 1 - poisson(x*3)
= 1 - [poisson(0; 5.0) + poisson(1; 5.0) + poisson(2; 5.0) + poisson(3; 5.0)]
= 1 - [0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404]
= 1 - 0.2650
= 0.7350
Pendekatan Poisson untuk Distribusi Binomial :
• Pendekatan Peluang Poisson untuk Peluang Binomial, dilakukan jika n besar (n > 20) dan p sangat kecil (p < p =" =" n =" 5"> 3
jika diselesaikan dengan peluang Binomial b(x > 3; 5 000, 0.002)
tidak ada di Tabel, jika menggunakan rumus sangat tidak praktis.
p = 0.002 n = 5 000 x>3
= n p = 0.002 5 000 = 10
diselesaikan dengan peluang Poisson poisson (x > 3; 10) = 1 - poisson (x 3)
= 1 - [poisson (0;10) + poisson(1; 10) + poisson(2;10) + poisson(3; 10)
= 1 - [0.0000 + 0.0005 + 0.0023 ] = 1 - 0.0028 = 0.9972
Hipotesis
Adalah pernyataan tentative yang merupakan dugaan mengenai apa saja yang sedang kita amati dalam usaha untuk memahaminya
Asal dan Fungsi Hipotesis
Hipoptesis dapat diturunkan dari teori yang berkaitan dengan masalah yang akan kita teliti. Jadi, Hipotesis tidak jatuh dari langit secara tiba-tiba!!!!!!
Misalnya seorang peneliti akan melakukan penelitian mengenai harga suatu produk maka agar dapat menurunkan hipotesis yang baik, sebaiknya yang bersangkutan membaca teori mengenai penentuan harga.
Fungsi Hipotesis
Hipotesis merupakan kebenaran sementara yang perlu diuji kebenarannya oleh karena itu hipotesis berfungsi sebagai kemungkinan untuk menguji kebenaran suatu teori.
Jika hipotesis sudah diuji dan dibuktikan kebenaranya, maka hipotesis tersebut menjadi suatu teori. Jadi sebuah hipotesis diturunkan dari suatu teori yang sudah ada, kemudian diuji kebenarannya dan pada akhirnya memunculkan teori baru.
Fungsi hipotesis menurut Menurut Nasution ialah sbb:
Untuk menguji kebenaran suatu teori,
Memberikan gagasan baru untuk mengembangkan suatu teori dan
Memperluas pengetahuan peneliti mengenai suatu gejala yang sedang dipelajari.
Pertimbangan dalam Merumuskan Hipoptesis (1)
Harus mengekpresikan hubungan antara dua variabel atau lebih, maksudnya dalam merumuskan hipotesis seorang peneliti harus setidak-tidaknya mempunyai dua variable yang akan dikaji.
Kedua variable tersebut adalah variable bebas dan variable tergantung. Jika variabel lebih dari dua, maka biasanya satu variable tergantung dua variabel bebas.
Pertimbangan dalam Merumuskan Hipoptesis (2)
Harus dinyatakan secara jelas dan tidak bermakna ganda, artinya rumusan hipotesis harus bersifat spesifik dan mengacu pada satu makna tidak boleh menimbulkan penafsiran lebih dari satu makna. Jika hipotesis dirumuskan secara umum, maka hipotesis tersebut tidak dapat diuji secara empiris
Pertimbangan dalam Merumuskan Hipoptesis (3)
Harus dapat diuji secara empiris, maksudnya ialah memungkinkan untuk diungkapkan dalam bentuk operasional yang dapat dievaluasi berdasarkan data yang didapatkan secara empiris.
Sebaiknya Hipotesis jangan mencerminkan unsur-unsur moral, nilai-nilai atau sikap
Jenis-Jenis Hipotesis
(Menurut tingkat abstraksinya hipotesis dibagi menjadi 3)……1
Hipotesis yang menyatakan adanya kesamaan-kesamaan dalam dunia empiris: Hipotesis jenis ini berkaitan dengan pernyataan-pernyataan yang bersifat umum yang kebenarannya diakui oleh orang banyak pada umumnya,
misalnya “orang jawa halus budinya dan sikapnya lemah lembut”, “jika ada bunyi hewan tenggeret maka musim kemarau mulai tiba, “ jika hujan kota Jakarta Banjir”. Kebenaran-kebenaran umum seperti di atas yang sudah diketahui oleh orang banyak pada umumnya, jika diuji secara ilmiah belum tentu benar.
Jenis-Jenis Hipotesis
(Menurut tingkat abstraksinya hipotesis dibagi menjadi 3)……2
Hipotesis yang berkenaan dengan model ideal: pada kenyataannya dunia ini sangat kompleks, maka untuk mempelajari kekomplesitasan dunia tersebut kita memerlukan bantuan filsafat, metode, tipe-tipe yang ada.
Pengetahuan mengenai otoriterisme akan membantu kita memahami, misalnya dalam dunia kepemimpinan, hubungan ayah dalam mendidik anaknya. Pengetahuan mengenai ide nativisme akan membantu kita memahami munculnya seorang pemimpin.
Jenis-Jenis Hipotesis
(Menurut tingkat abstraksinya hipotesis dibagi menjadi 3)……3
Hipotesis yang digunakan untuk mencari hubungan antar variable: hipotesis ini merumuskan hubungan antar dua atau lebih variable-variabel yang diteliti.
Dalam menyusun hipotesisnya, peneliti harus dapat mengetahui variabel mana yang mempengaruhi variable lainnya sehingga variable tersebut berubah.
Menurut bentuknya, Hipotesis dibagi menjadi tiga (1)
1. Hipotesis penelitian / kerja: Hipotesis penelitian merupakan anggapan dasar peneliti terhadap suatu masalah yang sedang dikaji.
Dalam Hipotesis ini peneliti mengaggap benar Hipotesisnya yang kemudian akan dibuktikan secara empiris melalui pengujian Hipotesis dengan mempergunakan data yang diperolehnya selama melakukan penelitian.
Misalnya: Ada hubungan antara krisis ekonomi dengan jumlah orang stress
Menurut bentuknya, Hipotesis dibagi menjadi tiga (2)
2. Hipotesis operasional: Hipotesis operasional merupakan Hipotesis yang bersifat obyektif.
Artinya peneliti merumuskan Hipotesis tidak semata-mata berdasarkan anggapan dasarnya, tetapi juga berdasarkan obyektifitasnya, bahwa Hipotesis penelitian yang dibuat belum tentu benar setelah diuji dengan menggunakan data yang ada. Untuk itu peneliti memerlukan Hipotesis pembanding yang bersifat obyektif dan netral atau secara teknis disebut Hipotesis nol (H0).
H0 digunakan untuk memberikan keseimbangan pada Hipotesis penelitian karena peneliti meyakini dalam pengujian nanti benar atau salahnya Hipotesis penelitian tergantung dari bukti-bukti yang diperolehnya selama melakukan penelitian.
Contoh: H0: Tidak ada hubungan antara krisis ekonomi dengan jumlah orang stress.
Menurut bentuknya, Hipotesis dibagi menjadi tiga (3)
3. Hipotesis statistik: Hipotesis statistik merupakan jenis Hipotesis yang dirumuskan dalam bentuk notasi statistik.
Hipotesis ini dirumuskan berdasarkan pengamatan peneliti terhadap populasi dalam bentuk angka-angka (kuantitatif).
Misalnya: H0: r = 0; atau H0: p = 0
Komentar ini telah dihapus oleh pengarang.
BalasHapus